Question

已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）-x²+ax+2．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）令a=-1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx-x²．若对任意x₁∈（-1，+∞），总存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）本题知道了函数在（0，1）上是增函数，求a范围，可以转化为f'（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，由此求解参数范围即可；
（2）分类讨论求出函数g（x）的最小值，使g（x）的最小值恒小于等于f（x）的最小值，从而求出a的取值范围
【解析】
（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=-2x+a≤0
在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x-在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x-，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，
所以a≤；

（2）若对任意x1∈[-1，+∞），总存在x2∈[-1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（-1，+∞）上的值域是函数g（x）在[-1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为
a=-1，所以f（x）=ln（x+1）-x2-x+2，定义域（-1，+∞）
f′（x）=-2x-1=
令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（-∞，2）
对于函数g（x）=-x2+2bx+b=-（x-b）2+b+b2
①当b≤-1时，g（x）的最大值为g（-1）=-1-b⇒g（x）值域为（-∞，-1-b]
由-1-b≥2⇒b≤3；
②当b＞-1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（-∞，b2+b]
由b2+b≥2⇒b≥1或b≤-2（舍去），
综上所述，b的取值范围是（-∞，-3]∪[1．+∞）．