Question

在△ABC中，设向量，且，．
（1）求证：A+B=；
（2）求sinA+sinB的取值范围；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．

Answer

（1）由题意可得sin2A=sin2B，进而可得A=B，或A+B=，经验证可排除A=B；
（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（）=sin（A+），由A的范围逐步可得；
（3）可得x=，令sinA+cosA=t∈（1，]，换元后可得关于t的函数，由t的范围可得．
【解析】
（1）∵向量，且，
∴sinAcosA-sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
化简可得A=B，或A+B=，但A=B时有，与已知矛盾，故舍去，
故有A+B=；
（2）由（1）可知A+B=，故sinA+sinB=sinA+sin（）
=sinA+cosA=sin（A+），
∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴1＜sin（A+）≤
故sinA+sinB的取值范围是（1，]；
（3）由题意可知x==，
设sinA+cosA=t∈（1，]，则t2=1+2sinAcosA，故sinAcosA=，
代入可得x===≥=2
故实数x的取值范围为：[，+∞）