Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）是R上的单调函数；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）由f（0）=1+a=0可得a值；
（2）∀x1，x2∈R，且x1＜x2，可得f（x2）-f（x1）的表达式，的其范围即可说明为增函数；
（3）由函数的性质可得原不等式恒成立即是2t2-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△＜0可得范围．
【解析】
（1）∵f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2x-2-x，
∀x1，x2∈R，且x1＜x2，

∵x1＜x2，∴，即
∴f（x2）-f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，
等价于f（t2-2t）＞-f（t2-k）=f（k-t2），即t2-2t＞k-t2，∴2t2-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t2-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是．