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高中数学试题
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我们称离心率的椭圆叫做“黄金椭圆”,若为黄金椭圆,以下四个命题: (1)长半轴长...
我们称离心率
的椭圆叫做“黄金椭圆”,若
为黄金椭圆,以下四个命题:
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有k
PQ
•k
OM
的定值.
其中正确命题的序号为
.
(1)利用椭圆的离心率及参数a、b、c的关系即可判断出; (20利用两点间的距离公式及(1)的距离即可得出; (3)把x=±c代入椭圆方程即可得出四个交点的坐标,进而判断出答案; (4)利用“差点法”及斜率计算公式即可得出. 【解析】 (1)∵离心率=,不妨设a=2,c=,则b2=a2-c2==ac,∴长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列,故正确; (2)取A(a,0),B(0,b),焦点F(-c,0),而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2,|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2, ∴|BF|2+|BA|2=|AF|2,∴AB⊥BF,∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形,故正确; (3)把x=c代入椭圆方程得,解得=±c.故正确. (4)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x,y), 则,,将两式相减得,∴=0,又,∴,为定值. 综上可知:(1)(2)(3)(4)都正确. 故答案为:(1)(2)(3)(4).
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考点分析:
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2
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=
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2
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.
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,
,若
,则m=
.
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试题属性
题型:填空题
难度:中等
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