(Ⅰ)把a=代入函数解析式中确定出f(x)的解析式,求出f(x)的导函数,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的极大值;
(Ⅱ)求出f(x)的导函数,把求出的导函数代入到已知的不等式中,移项使不等式的右边为0,左边为一个二次函数,讨论a,即可得到实数a的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)当a=时,f(x)=x3+3x2-x+1,
∵f′(x)=7x2+6x-1=(7x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x1=,x2=-1,
且当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,当x∈(-1,)时,f′(x)<0,
所以当x=-1时,f(x)有极大值,且f(-1)=.
(Ⅱ)∵∀x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,
即∀x∈R不等式3ax2+6x-1≤4x恒成立,
∴∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立,
当a≥0时,∀x∈R,3ax2+2x-1≤0不恒成立,
当a<0时,∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立,
即△=4+12a≤0,解得.