Question

已知函数f（x）=2lnx-x²．
（I） 求函数y=f（x）在上的最大值．
（II）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂．y=g′（x）是
y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．
求证：g′（px₁+qx₂）＜0．

Answer

（Ⅰ）由题意得f′（x）=0在x=1有唯一的极值点f（2）=2ln2-4，f（x）极大值=f（1）=-1，所以最大值为f（1）=-1
（Ⅱ）由题意得所以只要证明=＜0即可，只需证
u（x）=即可，由题得u′（t）＞0所以u（t）在t∈（0，1）上为增函数．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=2lnx-x2得到：，
∵，故f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，，f（2）=2ln2-4，f（x）极大值=f（1）=-1，
且知，所以最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵，又f（x）-ax=0有两个不等的实根x1，x2，
则，两式相减得到：
于是
=
∵2p≤1，x2＞x1＞0，∴（2p-1）（x2-x1）≤0
要证：g′（px1+qx2）＜0，只需证：
只需证：①
令，只需证：在0＜t＜1*u上恒成立，
又∵
∵，则，∴，于是由t＜1可知t-1＜0，
故知u′（t）＞0∴u（t）在t∈（0，1）*u上为增函数，
则u（t）＜u（1）=0，从而知，即①成立，从而原不等式成立．