Question

已知定义在R上的函数y=f（x）和y=g（x），则“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

Answer

当“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，由奇函数的定义可证“y=f（x）+g（x）是奇函数”；但由“y=f（x）+g（x）是奇函数”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，可通过反例来说明．
【解析】
因为“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-[f（x）+g（x）]，即“y=f（x）+g（x）是奇函数”，
故由“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”可推得“y=f（x）+g（x）是奇函数”；
但由“y=f（x）+g（x）是奇函数”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，
如，f（x）=x-x2，g（x）=x+x2，显然有f（x）+g（x）=2x为奇函数，但f（x）、g（x）均不是奇函数．
故“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的充分不必要条件．
故选A