Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log₂x）＞的解集为    ．

Answer

设g（x）=f（x）-x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．
【解析】
设g（x）=f（x）-x，
∵f′（x）＜，
∴g′（x）=f′（x）-＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log2x）＞=log2x+，
即g（log2x）=f（log2x）-log2x＞=g（1）=f（1）-=g（log22），
∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）