Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别为C₁C、BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer

（1）由题设条件推导出AF⊥面B1FE，故B1F⊥AF，设AB=1，能够推导出=，故B1F⊥EF，所以B1F⊥平面 AEF．
（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则=（1，0，1），=（），=（0，1，），分别求出平面AB1E的法向量为和平面AEF的法向量为，利用向量法能够求出二面角B1-AE-F的余弦值．
（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，AF⊥BB1，
∴AF⊥面B1FE，
∵B1F⊂面B1FE，
∴B1F⊥AF，
设AB=1，∵AB=AA1，
∴AB=AA1=AC=BB1=1，BF=CF=，
∴=，EF==，=，
∴=，
∴B1F⊥EF，
所以B1F⊥平面 AEF．
（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，
则A（0，0，0），B1（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），
∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），
设平面AB1E的法向量为=（x1，y1，z1），则=0，=0，
∴，∴=（1，，-1）．
设平面AEF的法向量为=（x2，y2，z2），
则，=0，
∴，∴=（1，-1，2），
设二面角B1-AE-F的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
∴二面角B1-AE-F的余弦值为．