Question

已知数列{a_n}中，，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据点（n，2an+1-an）在直线y=x上，可得2an+1-an=n，利用bn=an+1-an-1，即可证得{bn}为等比数列；
（2）an+1-an=1+bn=，叠加可得数列{an}的通项公式；
（3）存在λ=2，使数列是等差数列．利用Sn=+3[1-]，Tn=，求得前三项，即可求得结论．
（1）证明：∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1，∴2bn+1=an+1-an-1=bn，
∵，2an+1-an=n
∴a2=，
∴b1=a2-a1-1=-≠0
∴{bn}为等比数列；
（2）【解析】
an+1-an=1+bn=
叠加可得：an=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=n-2+3×
（3）【解析】
存在λ=2，使数列是等差数列．
Sn=+3[1-]，Tn=
∴=，，
数列是等差数列
∴2×=+，∴λ=2
当λ=2时，，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．