Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离（设正方体的棱长为1）．

Answer

（1）要求二面角B1-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况，再标识出P点即可，从而可求PB．
【解析】
（1）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B1F．
∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥MN．
又∵BD⊥MN，B1B∩BD=B，∴MN⊥平面B1BF
∴MN⊥B1F，∴∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角．
在Rt△B1BF中，B1B=1，BF=，∴tan∠B1FB=2；
（2）符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一．

由图可知PB==