Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=（3n+S_n）对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer

（I）把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3，整理出3+an+1=2（3+an），判断出数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+an，则an的表达式可得．
（II）把（I）中的an代入bn，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和．
【解析】
（I）由已知得Sn=2an-3n，
Sn+1=2an+1-3（n+1），两式相减并整理得：an+1=2an+3
所以3+an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1-3，a1=3可知3+a1=6≠0，进而可知an+3≠0
所以，故数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+an=6•2n-1，即an=3（2n-1）
（II）bn=n（2n-1）=n2n-n
设Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n（1）2Tn=1×22+2×23++（n-1）2n+n×2n+1（2）
由（2）-（1）得Tn=-（2+22+23++2n）+n2n+1=∴