Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，AB=3，动点P在BCD内运动（含边界），设，则α+β的最大值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

Answer

方法一：如图所示，作EF∥AB分别交BD、BC于点E、F，可知以下事实：当点P在EF上从左到右取点时，α不变而β增大，因此α+β的最大值只能在线段BC上取得．设，（0≤λ≤1），利用共线定理即可得出点P的坐标，即可得出α+β的最大值．
方法二：由题意正确得出点P（x，y）所满足的约束条件，利用=+3β=（3β，α）进行坐标变换得出α、β满足的约束条件，利用平移直线的方法找出α+β=t在α轴的最大截距即可．
【解析】
方法一：如图所示：作EF∥AB分别交BD、BC于点E、F．
当点P在EF上从左到右取点时，α不变而β增大，因此α+β的最大值只能在线段BC上
取得．
设，（0≤λ≤1）．
∵B（1，0），C（，1），A（0，0）．
∴，∴．
∴，又．
∴α+β=．
当且仅当λ=1时取等号，即点P取点C时，α+β取得最大值．
故选D．
方法二：如图所示，
在图1中，设P（x，y）．
B（3，0），D（0，1），C（1，1）．
可得直线BD的方程：．
CD的方程：y=1．
BC的方程：即x+2y-3=0．
则点P满足的约束条件为．
∵=+3β=（3β，α），
∴．代入点P满足的约束条件得如图2所示可行域．
令α+β=t，
则α=-β+t，
作直线α=-β，并将其平移，可看到经过点E时，t取得最大值，且t==．
故选D．