Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证：．

Answer

（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，两边同除以SnSn-1，可得，从而可得为等差数列；
（2）由（1）知是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得Sn，利用an+2SnSn-1=0（n≥2），可求an；
（3）利用，表示S12+S22+…+Sn2，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得．
【解析】
（1）S1=a1=，∴
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，∴
∴为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n-1）×2=2n，∴…（6分）
当n≥2时，
∴…（9分）
（3）==…（13分）