Question

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若AB=1，向量=（sinA，cos2A），=（4，1），当•取最大值时，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）已知等式右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．
（Ⅱ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用二次函数的性质，即可求出 的最大值，以及此时sinA的值，得到A的度数，由AB及B的度数，求出AC的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）△ABC中，∵2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，解得cosB=，∴B=．
（Ⅱ）∵向量=（sinA，cos2A），=（4，1），
∴=4sinA+cos2A=4sinA+1-2sin2A=-2（sinA-1）2+3，
∴当sinA=1时，取得最大值，此时，A=，B=，AC=，
故三角形ABC的面积S=×AB×AC=．