Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的“滞点”，已知函数f（x）=．
（1）试问C_f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（2）已知数列{a_n}的各项均为负数，且满足4S_n•f（）=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）令f（x）=x，得一方程，看该方程是否有解即可，注意检验；
（2）由题意得4Sn•（）2=2（-1），所以2Sn=an-an2，故2Sn+1=an+1-an+12，两式作差可得递推式，由递推式及已知条件可判断该数列为等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）由f（x）=x得=x，即x2-2x=0（x≠1），
解得x=0，或x=2，
∴函数f（x）=有两个滞点0和2．
（2）由已知4Sn•f（）=1，得4Sn•（）2=2（-1），
∴2Sn=an-an2①，
故2Sn+1=an+1-an+12②，
由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2，
∴（an+1+an）（an+1-an+1）=0，
∵an＜0，
∴an+1-an=-1，即{an}是等差数列，且d=-1，
当n=1时，由2S1=a1-a12=2a1得a1=-1，
∴an=-n．