Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）试判断数列{T_n}的单调性，并证明．
（Ⅲ）求证：当n≥2时，．

Answer

（I）将两个已知等式结合得到关于数列{bn}的项的递推关系，构造新数列，利用等差数列的通项公式求出，进一步求出bn．
（II）表示出Tn，Tn+1，求出Tn+1-Tn，通过放缩法，判断出此差的符号，判断出Tn+1，Tn两者的大小，即可得到结论；
（Ⅲ）利用数学归纳法证明即可．
（Ⅰ）证明：由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
整理，得bnbn+1+bn+1-bn=0，
从而有-=1，
∵b1=a1-1=2-1=1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴=n，∴bn=；
（Ⅱ）【解析】
数列{Tn}单调递增
∵Sn=1++…+，
∴Tn=S2n-Sn=++…+，
∴Tn+1=++…+++，
∴Tn+1-Tn=+-＞+-=0，
∴Tn+1＞Tn，
∴数列{Tn}单调递增；
（Ⅲ）证明：①当n=2时，，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即1++…+≥，
则n=k+1时，=1++…+++…+≥++…+＞=，即n=k+1时，结论成立
∴当n≥2时，．