Question

已知数列{a_n}，{b_n）满足a₁=2，b₁=1，且（n≥2），数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n
（1）求c₁和c₂的值；
（2）求证：数列 {c_n}为等差数列，并求出数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}的前n和为S_n，求证：+++…+＜1．

Answer

（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）根据题设得an+bn=（an-1+bn-1）+2（n≥2），即cn=cn-1+2（n≥2），即可得到数列{cn}的通项公式cn；
（3）求出前n项和Sn，可得{}的通项，利用裂项法，即可证得结论．
（1）【解析】
（1）由题意，∵a1=2，b1=1，∴c1=a1+b1=3，
∵=，=，
∴c2=a2+b2=5；
（2）证明：因为（n≥2），
∴cn=an+bn=（）+（）=an-1+bn-1+2=cn-1+2
∴cn-cn-1=2，即数列{cn}是以c1=3为首项，2为公差的等差数列
∴cn=3+2（n-1）=2n+1；
（3）证明：Sn==n（n+2），∴=
∴+++…+=+…+]
==＜＜1．