Question

已知一非零的向量列．
（1）计算||，||，||；证明：数列{||}是等比数列；
（2）设θ_n（n≥2）是，的夹角的弧度数，．

Answer

（1）非零向量列{}满足：=（1，1），=（xn，yn）=（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1） （n≥2），能求出||，||，||；要证数列{||}为等比数列，要利用等比数列的定义，由题意找数列||和相邻项||的比为常数．
（2）由=（+）=||2，知cosθn===，θn=，n≥2．由此得到bn=，再由裂项求和法能求出S2013．
【解析】
（1）∵非零向量列{}满足：=（1，1），=（xn，yn）=（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1） （n≥2），
∴=（1，1），=（0，2）=（0，1），=（-1，1）=（-，），
∴||==，||==1，||==．
∵||=，
∴||===，
∴=（常数），
∴{||}是首项||=，公比q=的等比数列．
（2）∵=（xn-1，yn-1）•（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）
=（+）=||2，
∴cosθn===，
∴θn=，n≥2．
∴bn====，
∴Sn=b2+b3+…+bn
=（1-）+（）+…+（）
=1-．
∴S2013=1-=．