Question

如图，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，．若游客在每条路线上游览的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且中间路线DE，DF，EF的比例系数为2k，两边路线DA，DB，AE，BF的比例系数为k（k＞0），假定该公园整体的“心悦效果”y是游客游览所有路线“心悦效果”的和．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳？

Answer

（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．
（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．
【解析】
（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的长分别为π-4x，2x，2x
连接OD，则由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+，
∴DE=DF===（sinx+cosx），
∴y=2k[2（sinx+cosx）+π-4x]+k（2+4x）=2k[2（sinx+cosx）-2x++π]；
（2）∵由y′=4k[（sinx+cosx）-1]=0，
解得：cos（x+）=，即x=，
又当x∈（0，）时，y'＞0，此时y在（0，）上单调递增；
当x∈（，））时，y'＜0，此时y在（，）上单调递减．
故当x=时，该公园整体的“心悦效果”最佳．