Question

已知函数，．
（1）求集合B；
（2）若；
（3）比较的大小，并说明理由．

Answer

（1）由函数，f′（x）=x2+4ax+a，x1，x2∈A，知f′（x）=0有两个实根，故x1+x2=-4a，x1x2=a，△=16a2-4a＞0，再由，能求出B．
（2）令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，则=tan2t＞0，由此能够证明tan＞．
（3）由（2）得x≥2时，tan＞，，故tan＞，，由此能够得到sin＞sin．
【解析】
（1）∵函数，
∴f′（x）=x2+4ax+a，
∵x1，x2∈A，∴f′（x）=0有两个实根，
∴x1+x2=-4a，x1x2=a，△=16a2-4a＞0，
∴a，或a＜0，
∵（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=1-4a+a=1-3a，
（1-4a-x1）（1-4a-x2）=1-8a+16a2+（4a-1）（x1+x2）+x1x2
=1-3a．
∵，
∴，
∴，即，
解得0＜a＜，或a≥2．
综上所述，B={a|，或a≥2}．
（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴∈（0，]，
令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，
则=tan2t＞0，
∴R（t）在（0，）上单调递增，
∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，
∴tan＞．
（3）由（2）得x≥2时，tan＞，
∵，
∴tan＞，∴，
∴，∴2012•sin′（）＞，
∴2012•＞1-，
∴2013，
∵，
∵，
∴sin＞sin．