Question

偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且在x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则函数g（x）=f（x）-（）^x在[0，3]上的零点的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．
【解析】
∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
设 y1=f（x），y2=（）x，
函数g（x）=f（x）-（）x在[0，3]上的零点的个数
即为函数y1=f（x），y2=（）x的图象交点的个数．
由以上条件，可画出y1=f（x），y2=（）x的图象：
又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．
∴结合图象可知，在[0，3]上y1=f（x），y2=（）x共有4个交点．
函数g（x）=f（x）-（）x有4个零点
故选D．