Question

设函数f（x）=m-，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-]
B．[-2，-）
C．[-3，-）
D．[-]

Answer

由题意可知函数为减函数，f（a）=m-=b，f（b）=m-=a，由两式可得+=1，2m=a+b+1，换元可得p=，q=，故有p+q=1，a=p2-3，b=q2-3=（1-p）2-3，由二次函数区间的最值可得答案．
【解析】
由x+3≥0可得x≥-3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，
故有f（a）=m-=b，f（b）=m-=a，
两式相减可得-=a-b，即-=（a+3）-（b+3），
即+=1，两式相加可得2m=a+b++=a+b+1，
记p=，q=，故有p+q=1，a=p2-3，b=q2-3=（1-p）2-3，
代入可得m==p2-p-2=，
又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：
当p=时，q=，与a＜b矛盾，m取不到最小值，当p=0或1时，m取最大值-2，
故m的范围是（，-2]，
故选A