Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x） 是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g（x）=．
（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1+（）x+（ ）x，可判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，由单调性可得求得f（x）在（-∞，0）上的值域，由值域可判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数． 
（Ⅱ）g（x）=-1，易判断g（x）在[0，1]上的单调性，由单调性可求得g（x）的值域，进而求得|g（x）|的值域，由上界定义可求得H（q）的范围；
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即-3≤f（x）≤3恒成立，设t=（）x，t∈（0，1]，则转化为3≤1+pt+t2≤3恒成立，分离参数p后转化为求函数最值即可解决；
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1+（）x+（）x，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． 
（Ⅱ）g（x）=-1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即，
∵q∈（0，]，∴||≥||，
∴|g（x）|≤||，
所以H（q）≥||，即H（q）的取值范围为[||，+∞）．
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
设t=（）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+pt+t2≤3，
∴-（t+）≤p≤-t在（0，1]上恒成立，
设h（t）=-t-，m（t）=-t，则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，
所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，
所以实数p的取值范围为[-5，1]．