Question

下列说法中，正确的是（ ）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有a^x＞a^-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，，3}，则使函数y=x^a的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2^x-log_0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤

Answer

对①根据条件f（x+1）=f（1-x）与f（x）=f（2-x）等同，利用点关于直线的对称点在函数图象上来判断函数图象的对称性；
对②x 与-x的大小不确定，可判断；根据函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增的条件，可判断③是否正确；
对④根据幂函数的性质可求出符合条件的指数；
对⑤根据函数y=2x，y=的单调性确定f（x）=2x-log0.5x的单调性，来判断⑤是否正确．
【解析】
∵f（x）满足f（x+1）=f（1-x），∴f（a）=f（2-a），设M（a、b）是函数上的任一点，M关于x=1的对称点N（2-a，b）也在函数图象上，∴f（x）的图象关于x=1直线对称，①正确；
∵a＞1，y=ax为增函数，x与-x大小不定，∴②不正确；
∵a＞0 时函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增，∴是充分不必要条件，故③不正确；
∵a=-1时定义域为{x|x≠0，x∈R}，a= 时定义域是x≥0，a=1或3时，定义域为R且该函数为奇函数，故④正确；
∵f（a）=2a-=0，∵y=2x为增函数，y=为减函数，∴f（x）=2x-log0.5x为增函数，∴0＜x＜a，f（x）＜f（a）=0，故⑤正确；
故答案是①④⑤