Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（）．当x时，则 f（x）的值域为（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，1]
C．[-1，2]
D．[-1，1]

Answer

由题意得A=2，由周期，可求ω，则有f（x）=2sin（2x+φ），然后将M（）代入结合已知φ的范围，可求φ，从而可求函数f（x）的表达式，由x的范围可求ωx+φ的范围，结合正弦型函数的性质可求函数函数的值的范围．
【解析】
由题意得A=2，周期T==π，得ω=2，此时f（x）=2sin（2x+φ），
将M（）代入上式得-2=2sin（+φ），
即sin（+φ）=-1，0＜φ＜，
解得φ=，所以f（x）=2sin（2x+）；
因为x∈[，]，所以≤2x+≤，
所以，当且仅当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，
即有f（x）的最大值为2．
当且仅当2x+=，即x=时，sin（2x+）=-1，
即有f（x）的最小值为-1．
所以函数的值域为[-1，2]．
故选C．