Question

已知sin α+cos α=，α∈（0，），sin（）=，β∈（）．则cos（α+2β）的值为    ．

Answer

根据β的范围求出β-的范围，由sin（β-）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（β-）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别
求出sin2β和cos2β的值，根据sin α+cos α=，α∈（0，），分别求出sinα和cosα的值，再利用利用两角和的余弦函数公式化简求得结果．
【解析】
∵β∈（，），β-（0，），∴cos（β-）=，于是sin2（β-）=2sin（β-）cos（β-）=．
又sin2（β-）=-cos2β，∴cos2β=-．
又2β∈（，π），∴sin2β=．
由sin α+cos α=，α∈（0，），以及cos2α+sin2α=1，可得cosα=，sinα=．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=-，
故答案为-．