(1)求出导函数f′(x)=-a,并且解出它的零点x=,再分区间(0,)和(,+∞)上讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;
(2)分a≥1、0<a≤和<a<1三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.
解 (1)函数f(x)的定义域 为(0,+∞).
f′(x)=-a= (2分)
因为a>0,令f′(x)=-a=0,可得x=;
当0<x<时,f′(x)=>0;当x>时,f′(x)=<0,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).(4分)
(2)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在(1,)上是增函数,在(,2)上是减函数.
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=-a;
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)