Question

定义：若平面点集A中的任一个点（x，y），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}；      
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；     
④．
其中是开集的是    ．（请写出所有符合条件的序号）

Answer

根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，以圆上的点为圆心正实数r为半径的圆面不可能在该圆上，故不是开集，②是集A中的任一点（x，y），则该点到直线的距离为d，取r=d，满足条件，故是开集；③在曲线|x+y|=6任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集；④该平面点集A中的任一点（x，y），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集．
【解析】
①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x，y），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足，
故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，，故该集合不是开集；
④表示以点（0，） 为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x，y），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集；
即是开集的只有：②④．
故答案为：②④．