Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

Answer

（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
【解析】
（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
又∵BO⊥平面PAC
∴PC⊥BO
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中，
∴
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3