Question

在数列{a_n}中，a₁=1，（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由a1=1，（n≥2），知=+3，由此能求出．
（Ⅱ）由.对任意n≥2的整数恒成立，知对任意n≥2的整数恒成立，设，由n=2时，Cn的最小值C2为，能求出λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，（n≥2），
∴=+3，即-=3，=1，
∴{}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴=1+3（n-1）=3n-2，
∴．
（Ⅱ）∵．
对任意n≥2的整数恒成立，
∴λ（1-）≤3n+1对任意n≥2的整数恒成立，
∴对任意n≥2的整数恒成立，
设，
则Cn+1-Cn=＞0，
∴Cn+1＞Cn，
∵n=2时，Cn的最小值C2为，
∴λ的取值范围是（-∞，]．