Question

已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（3）对任意的n∈N^*，且n≥2，证明：．

Answer

（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；
（2）先证明f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1），f（x2）-f（x1）＞（x2-x1）f'（x2），即可得（x2-x1）f'（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1）；
（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），再利用放缩法，即可证得结论．
（1）【解析】
f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln．         …（2分）
所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．  …（4分）
（2）证明：对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，取a=x1，则x2∈（x1，+∞），由（1）得g（x1）＞g（x2），
即g（x1）=f（x1）-x1f'（x1）＞f（x2）-x2f'（x1）=g（x2），
所以，f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1）…①；         …（6分）
取a=x2，则x1∈（0，x2），由（1）得g（x1）＜g（x2），即g（x1）=f（x1）-x1f'（x2）＜f（x2）-x2f'（x2）=g（x2），
所以，f（x2）-f（x1）＞（x2-x1）f'（x2）…②．
综合①②，得（x2-x1）f'（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1）．  …（8分）
（3）证明：对k=1，2，…，n-2，令φ（x）=，则φ′（x）=，
显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．
由n-k≥2，得φ（n-k）≤φ（2），即．
所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．        …（10分）
所以=
≤=2  …（12分）
又由（2）知f（n+1）-f（n）＜f′（n）=-lnn，所以lnn＜f（n）-f（n+1）．
∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（n）-f（n+1）=f（1）-f（n+1）=1-f（n+1）．
所以，．…（14分）