Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF₂的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF₁并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由，得，从而有a+c=5（a-c），结合离心率定义即可求得答案；
（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．
【解析】
（1）∵，∴．
∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为．
（2）存在满足条件的常数λ，．
∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，
左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，
代入椭圆方程，整理得，．
∵，∴．
从而，故点．同理，点．
∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2-x2y1=2（y1-y2）．
从而．
故，从而存在满足条件的常数λ，．