Question

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．

Answer

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有Cn2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．
（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．
【解析】
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，
试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果
而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有Cn2种结果
设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，
由题意知=，即，
化简得n2-n-30=0．
解得n=6或n=-5（舍去）
故袋中原有白球的个数为6．
（2）用X表示取球终止时取球的总次数，
由题意，X的可能取值为1，2，3，4．
；
；
；
P（X=4）=．
∴取球次数X的概率分布列为：

∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．