Question

设，给出下列四个命题：
①函数在区间上是减函数；
②把f（x）图象按向量平移后得到函数g（x）的图象，则g（x）是偶函数；
③存在使
④函数y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正确命题的序号是    ．

Answer

根据向量数量积坐标运算法则，结合三角恒等变换化简得f（x）=sin（2x+）．由正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式得到是函数f（x）的一个减区间，故①正确；根据函数图象平移公式和诱导公式，可得f（x）图象按向量平移后得到y=cos2x的图象，是偶函数故②正确；由正弦函数的图象与性质可得当时f（x）的最小值大于1，因此③不正确；根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期和y=|sinx|的图象特征，得到④不正确．
【解析】
∵，
∴=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）
①∵令2x+∈[+2kπ，+2kπ]（k∈Z），可得x∈[+kπ，+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得区间是函数f（x）的一个减区间，故①正确；
②把f（x）图象按向量平移后，得到y=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+），
即y=cos2x的图象，所以平移后的图象为偶函数，故②正确；
③当时，2x+∈（，），可得sin（2x+）∈（，1）
∴f（x）=sin（2x+）∈（1，）．故不存在使，从而③不正确；
④∵f（x）=sin（2x+）的周期为T==π，
∴y=|f（x）|的周期为×π=，因此④不正确
综上所述，可得正确的命题只有①②
故答案为：①②