Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的约算术均值为C，则下列函数在其定义域上的算术均值可以为2的函数是（ ）
A．y=x²
B．y=4sin
C．y=ln
D．y=2^x

Answer

本题可转化为关于x2的方程是否存在唯一解问题，先直接根据选项建立方程f（x1）+f（x2）=4，然后判断是否存在唯一的解，从而得到正确选项．
【解析】
由题意可得，均值为2，则=2即f（x1）+f（x2）=4，转化为关于x2的方程是否存在唯一解问题．
A任意的x1∈R，关于x2的方程x12+x22=4，当x1＞2时，一定无解；
B任意的x1∈R，关于x2的方程4sinx1+4sinx2=4，即sinx1+sinx2=1，当sinx1＜0时，一定无解；
C任意的x1∈（0，+∞），关于x2的方程lnx1+lnx2=4，一定有唯一解；
D任意的x1∈R，关于x2的方程+=4，当＞4时，一定无解．
故选C．