Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分别是PD、CD的中点．
（I）求证：MN⊥AD；
（II）求二面角A-MN-C的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量的夹角即可；
（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．
（Ⅰ）证明：在△ADC中，由余弦定理可得：AC2=12+22-2×1×2×cos60°=3，
∴AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C，D（0，1，0），P（0，0，1），M，
N．
∴，又，
∴=0，∴，即MN⊥AD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，．
设平面AMN的法向量为，则，，
可得，令z=，则y=-，x=1，
∴．
同理可得平面CMN的法向量=．
∴===．
∴二面角A-MN-C的平面角的余弦值为．