Question

如图，设点上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别是A、B．已知圆C₁的圆心M在抛物线C₂的准线上．
（I）求t的值；
（Ⅱ）求的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer

（Ⅰ）先分别求出圆心坐标和抛物线的准线方程，进而即可得出；
（Ⅱ）设出切线的方程，并与抛物线的方程联立，由相切可得△=0，利用根与系数的关系及数量积即可得出，再利用点P在圆上及函数的导数即可求出最小值．
【解析】
（Ⅰ）圆C1的圆心M（0，-1），抛物线C2的准线为y=-，
∵圆C1的圆心M在抛物线C2的准线上，∴，解得t=4．
∴t的值为4．
（Ⅱ）由题意可知：切线PA、PB的斜率都存在，分别为k1，k2，切点A（x1，y1），B（x2，y2）．
设过点P的抛物线的切线l：y=k（x-m）+n，代入x2=4y，
可得x2-4kx+（4km-4n）=0（*）
∵直线l与抛物线相切，∴△=16k2-4×（4km-4n）=0，化为k2-km+n=0．
∴k1+k2=m，k1k2=n．（**）
此时，x1=2k1，；同理，x2=2k2，．
∴=（x1-m）（x2-m）+（y1-n）（y2-n）
=
=4k1k2-2m（k1+k2）+-
=4n-2m2+m2+n2-n（m2-2n）+n2
=4n2+4n-m2（1+n）．
∵点P（m，n）在圆C1上，∴，∴，代入上式可得
=，
考查函数f（n）=．
求得f′（n）==，
令f′（n）=0，解得或．
当时，f′（n）＜0，f（n）单调递减；
当时，f′（n）＞0，f（n）单调递增．
∴当时，f（n）取得最小值．
此时对应的点P．