Question

某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），出厂价为x元（25≤x≤40）．根据市场调查知，日销售量q（单位：个）与e^x成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．
（1）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
（2）若t=5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．

Answer

（1）由条件“日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量函数解析式，根据日利润y=每件的利润×件数，即可建立函数关系式；
（2）先对函数进行求导，求出极值点，利用单调性求出函数的最值．
【解析】
（1）设日销售量，则，∴k=100e30（2分）
∴日销售量，
∴（6分）
（2）当t=5时，
∴，（9分）
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函数在[25，26）上单调递增，在（26，40]上单调递减，
当x=26时，函数取得最大值，最大值为．   （12分）