Question

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：学员必须按顺序从第一次开始参加考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）小李第四次参加考核的概率．

Answer

（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果．
（2）根据小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，结合地（1）中结论，可求出前三次考核合格的概率，参加第四次考核即前三次考查均不合格，由此可得答案．
【解析】
（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为．
得 （1-P1）•（P1+）=，
解得P1=或P1=．
∵P1≤，
∴P1=，
即小李第一次参加考核就合格的概率为
（2）∵小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，
由（1）的结论知，小李第一次考核每次合格的概率为，
小李第一次考核每次合格的概率为，
小李第二次考核每次合格的概率为，
小李第三次考核每次合格的概率为，
∴小李第四次参加考核的概率为（1-）•（1-）•（1-）=