Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁，侧面ABB₁A₁的面积为，CA=CA₁=AB=BB₁=1，∠ABB₁为锐角
（1）求证：CB₁⊥AA₁；
（2）求二面角C-BB₁-A的大小．

Answer

（1）由棱柱的几何特征及CA=CA1=AB=BB1=1可得棱柱的侧面均为菱形，又由侧面ABB1A1的面积为，∠ABB1为锐角，可得到△ABB1，△AB1A1，△CAA1均为边长为1的等边三角形，根据等边三角形三线合一及线面垂直的性质，由侧面AA1CC1⊥侧面ABB1A1可得到CO⊥平面ABB1A1，进而由三垂线定理得到CB1⊥AA1；
（2）由（1）的结论可得AA1⊥平面CB1O，BB1⊥平面CB1O，即∠CB1O是二面角C-BB1-A的平面角，解△CB1O可得二面角C-BB1-A的大小．
【解析】
（1）∵CA=CA1=AB=BB1=1，
∴ABB1A1，ABB1A1都是菱形，
∵面积=1×1×sinB=，又∠ABB1为锐角，
∴∠ABB1=60°，
∴△ABB1，△AB1A1，△CAA1均为边长为1的等边三角形．        …（3分）
∵侧面AA1CC1⊥侧面ABB1A1，
设O为AA1的中点，则CO⊥平面ABB1A1，
又OB1⊥AA1，
∴由三垂线定理可得CB1⊥AA1． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AA1⊥平面CB1O（如图），
∴BB1⊥平面CB1O，
∴∠CB1O是二面角C-BB1-A的平面角，…（9分）
∴tan∠CB1O==1，
∴二面角C-BB1-A的大小为45°．             …（12分）