Question

已知正数数列{a_n}的前n项和S_n满足（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，（n∈N^*）且数列{b_n}的前n项和为T_n，如果T_n＜m²-m-5对一切n∈N^*成立，求正数m的取值范围．

Answer

（I）将已知的中的n用n-1代替，仿写一个新的等式，两个式子相减，变形得到项的递推关系，利用等差数列的定义判断出是一个等差数列，利用等差数列 通项公式求出通项．
（II）将an代入，将其裂成两项的差，，利用裂项求和求出Tn，列出关于m的不等式，求出m的范围．
【解析】
（I）∵，
∴，
两式相减得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an，∴an+12-an2-4an+1-4an=0，
∴（an+1+an）（an+1-an-4）=0，
又{an}是正数数列，
∴an+1-an-4=0，
∴an+1-an=4，
∴{an}是等差数列．  
∵，
∴a1=2，
∴an=4n-2，（n∈N*）．    
（II）∵an=4n-2，
∴，
∴，
∴对一切n∈N*，必有Tn＜1．             
故令m2-m-5≥1，
∴m≤-2或m≥3，又m＞0，
∴m≥3．