Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a_n}是等差数列，且a₃＜0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

Answer

由题设知a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，由此能够导出（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值恒为正数．
【解析】
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f（x）单调递减，
数列{an}是等差数列，且a3＜0，
∴a2+a4=2a3＜0，
a1+a5=2a3＜0，
x≥0，f（x）单调递减，
所以在R上，f（x）都单调递减，
因为f（0）=0，
所以x≥0时，
f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，
∴f（a3）＞0
∴f（a1）+f（a5）＞0，
∴f（a2）+f（a4）＞0．
故选A．