Question

在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y=f（x）图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．那么函数的“姐妹点对”的个数为    ；当函数g（x）=a^x-x-a有“姐妹点对”时，a的取值范围是    ．

Answer

第一空：欲求f（x）的“姐妹点对”，只须作出函数y=x-4（x≥0）的图象关于原点对称的图象，观察它与函数y=x2-2x（x＜0）交点个数即可．
第二空：构建函数y=ax（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，函数y=ax（a＞0，且a≠1）关于原点对称的函数为y=-a-x，函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，可转化为函数y=x+a与y=-a-x只有一个交点，由此可得结论．
【解析】
根据题意可知，欲求f（x）的“姐妹点对”，只须作出函数y=x-4（x≥0）的图象关于原点对称的图象，观察它与函数y=x2-2x（x＜0）交点个数即可．
函数y=x-4（x≥0）关于原点对称的函数为y=x+4（x＜0）
在同一坐标系作出函数的图象，观察图象可得：它们的交点个数是：1．
即f（x）的“姐妹点对”有：1个．
故答案为：1
当函数g（x）=ax-x-a有“姐妹点对”时：构建函数y=ax（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，函数y=ax（a＞0，且a≠1）关于原点对称的函数为y=-a-x
∵函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，
∴函数y=x+a与y=a-x只有一个交点
∵a＞1时，y=a-x单调减，与函数y=x+a图象只有一个交点；
0＜a＜1时，y=a-x单调减，与函数y=x+a图象没有交点；
此时有a＞1；
故答案为a＞1．