Question

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₃，a₉成等比数列，S₅=a₅²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=，求数列{b_n}的前99项的和．

Answer

（1）设出数列的公差，利用等比中项的性质推断出a32=a1a9，利用等差数列的通项公式表示出等式求得a1=d，利用求和公式表示出
S5，建立等式求得a1和d另一等式，联立求得a1和d则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中数列{an}的通项公式代入bn，整理后利用裂项法求得数列的前99项的和．
【解析】
（1）设数列{an}公差为d（d＞0），
∵a1，a3，a9成等比数列，∴a32=a1a9．
（a1+2d）2=a1（a1+8d），d2=a1d．
∵d≠0，∴a1=d．①
∵S5=a52，∴5a1+•d=（a1+4d）2．②
由①②得a1=，d=．
∴an=+（n-1）×=n．
（2）bn=，
∴b1+b2+b3+…+b99=
[99+（1-）+（-）+（-）]
=（100-）=．