Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函数f（x）在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
（II）试讨论函数f（x）是否既有极大值又有极小值？若有，求出a的取值范围；若没有，请说明理由．

Answer

（I）由题意函数上是减函数，等价于函数在此区间上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可
（II）由函数求导函数为：，接着针对字母a的取值范围求该函数在定义域下的极值即可．
【解析】
（I）由f（x）=-x2+ax+1-lnx得，
∵f（x）在区间上是减函数，∴当时，＜0恒成立，
即a＜2x+恒成立，令g（x）=2x+，则g′（x）=2-
∵＞4，∴g′（x）=2-＜0
∴g（x）=2x+在区间上是减函数，
∴，∴．

（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）得到：f′（x）==0，得-2x2+ax-1=0，△=a2-8
①当-2-8＜0，-2x2+ax-1＜0恒成立，所以f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
②当a=±2+ax-1≤0，∴f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
③当a＜-2（x）=0得：x1=∵x1＜0∉（0，+∞）∴f（x）在（0，+∞）不可能存在两个极值点；
④当a＞2（x）=0得：x1=    此时，x2＞x1＞0，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由表可以知道，f（x1）是f（x）的极小值，f（x2）是f（x）的极大值；综上：当a≤-2时，f（x）不可能即有极大值又有极小值；
当a＞2时，f（x）即有极大值f（x2），又有极小值f（x1）．