Question

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（I） 求数列{b_n}的通项公式；
（II） 数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+}是等比数列．

Answer

（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式
（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求Sn，要证数列{Sn+}是等比数列⇔即可．
【解析】
（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{bn}中的依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{bn}的第3项为5，公比为2
由b3=b1•22，即5=4b1，解得
所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为
（II）数列{bn}的前和
即，所以，
因此{}是以为首项，公比为2的等比数列