Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]内的值域；
（2）c为何值时，ax²+bx+c≤0的解集为R？

Answer

由题意可得当x=-3和x=2时，有y=0，代入可求a，b，进而可求f（x）
（1）由二次函数的性质可判断其在[0，1]上的单调性，进而可求函数的值域
（2）令g（x）=-3x2+5x+c，要使g（x）≤0的解集为R．则△≤0，解不等式可求
【解析】
由题意知f（x）的图象是开口向下，交x轴于两点A（-3，0）和B（2，0）的抛物线，
对称轴方程为x=-（如图）．

那么，当x=-3和x=2时，有y=0，代入原式得

∴或
经检验a=0，b=8不符合题意，舍去．
∴f（x）=-3x2-3x+18．
（1）由图象知，函数在[0，1]内单调递减，
所以，当x=0时，y=18，当x=1时，y=12．
∴f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．
（2）令g（x）=-3x2+5x+c，
要使g（x）≤0的解集为R．
则需要方程-3x2+5x+c=0的根的判别式△≤0，
即△=25+12c≤0，解得c≤-．
∴当c≤-时，ax2+bx+c≤0的解集为R．