Question

已知：函数（a，b，c是常数）是奇函数，且满足
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性并说明理由；
（3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer

（1）根据函数是奇函数，得到c=0，再由题中的2个等式建立关于a、b的方程组，解之即可得到a、b的值；
（2）区间（0，）上任取两个自变量x1、x2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，根据据单调性的定义可得f（x）=2x+在区间（0，）上是减函数．
（3）根据（2）的结论，判断函数的单调性可得f（x）在区间（0，）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，因此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=2．
【解析】
（1）∵函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），∴c=0
∵，∴，解之得a=2，b=
（2）由（1）可得f（x）=2x+
∴f（x）=2x+在区间（0，0.5）上是单调递减的
证明：设任意的两个实数0＜x1＜x2＜
∵f（x1）-f（x2）=2（x1-x2）+-=2（x1-x2）+
=
又∵0＜x1＜x2＜
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜，1-4x1x2＞0，可得f（x1）-f（x2）＞0
即对任意0＜x1＜x2＜，均有f（x1）＞f（x2）
∴f（x）=2x+在区间（0，）上是减函数．
（3）由（2）得f（x）=2x+在区间（0，0.5）上是单调递减函数．
类似地可证出对任意x1＞x2＞，均有f（x1）＞f（x2），
可得f（x）=2x+在区间（，+∞）上是增函数．
因此，函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=2．