Question

四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E为PC中点，F是线段DE上任意一点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若点M为AB的中点，N为DC的中点，求证：平面EMN∥平面PAD；
（3）设P，A，F三点确定的平面为a，平面a与平面DEB的交线为l，试判断直线PA与l的位置关系，并证明之．

Answer

（1）令G为AD边的中点，连接PG，BG，根据等腰三角形三线合一，可得BG⊥AD，同理可证BG⊥AD，再由线面垂直的判定定理证明AD⊥平面PGB，然后证明AD⊥PB．
（2）连接EM，EN，利用中线位定理，分别证得EN∥PD，MN∥AD，进而由线面平面的判定定理证得EN∥平面PAD，MN∥平面PAD，再由面面平行的判定定理证得答案．
（3）连接AC交BD于O，连接EO，由三角形中位线定理可得EO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面DEB，再由线面平行的性质定理得到结论．
证明：（1）令G为AD边的中点，连接PG，BG
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD为正三角形
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又∵△PAD为正三角形，G为AD边的中点，
∴PG⊥AD，
∵PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB，
∵PB⊂平面PGB．
∴AD⊥PB．
（2）连接EM，EN
在△PCD中，
∵E，N分别为PC，CD的中点
∴EN∥PD
又∵EN⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴EN∥平面PAD
在菱形ABCD中，点M为AB的中点，N为DC的中点，
∴MN∥AD
又∵MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
∴MN∥平面PAD
又∵EN，MN⊂平面EMN且EN∩MN=N
∴平面EMN∥平面PAD
（3）直线PA与l平行，理由如下：
连接AC交BD于O，连接EO
根据菱形的对角线互相平分可得O为AC的中点，
又∵E为PC中点
∴EO∥PA
∵PA⊄平面DEB，EO⊂平面DEB
∴PA∥平面DEB
又∵PA⊂α，α∩平面DEB=l
∴PA∥l